Question

【題目】如圖，AH是⊙O的直徑，點E，F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上，B為直徑OH上一點，AE平分∠FAH交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的直徑為．

【解析】

（1）根據角平分線和半徑相等，得∠OEA=∠EAF，推得OE∥AF，進而根據切線的判定即可證明；

（2）先證明Rt△ABE≌Rt△AFE，得AF=AB，再根據勾股定理即可求得半徑的長，進而求得直徑的長．

（1）如圖，連接OE，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

∵AE平分∠FAH，

∴∠OAE＝∠FAE，

∴∠OEA＝∠FAE，

∴OE∥AF，

∴∠AFE+∠OEF∠＝180°，

∵AF⊥GF，

∴∠AFE＝90°，

∴∠OEF＝90°，

∴OE⊥GF，

∵點E在圓上，OE是半徑，

∴GF是⊙O的切線；

（2）設AB＝x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝x，BC＝AD＝8，

∴CE＝BC﹣BE＝3，

∵AE是∠BAF的角平分線，BE⊥AB，EF⊥AF，

∴EF＝BE＝5，

在Rt△CEF中，根據勾股定理，得CF＝4，

∴DF＝CD﹣CF＝x﹣4，

AE＝AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），

∴AF＝AB＝x，

在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2＝64，

∴x＝10，

∴AB＝10，

設⊙O的半徑為r，

∴OB＝10﹣r，

在Rt△BOE中，r2＝（10﹣r）2+25，

∴r＝，

答：⊙O的直徑為．