Question

【題目】如圖，在中，，，DF是的中位線，點C關于DF的對稱點為E，以DE，EF為鄰邊構造矩形DEFG，DG交BC于點H，連結CG．

求證：≌．

若．

求CG的長．

在的邊上取一點P，在矩形DEFG的邊上取一點Q，若以P，Q，C，G為頂點的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的平行四邊形的面積．

在內取一點O，使四邊形AOHD是平行四邊形，連結OA，OB，OC，直接寫出，，的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①1；②或或．（3）：3：1．

【解析】

根據矩形的性質、翻折不變性利用HL即可證明；

想辦法證明即可解決問題；

共三種情形畫出圖形，分別解決問題即可；

如圖5中，連接OD、OE、OB、首先證明四邊形DOHC是矩形，求出OD、OH、OE即可解決問題.

如圖1中，

四邊形DEFG是矩形，

，，

由翻折不變性可知：，，

，，

，

≌，

如圖1中，≌，

，，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

．

如圖2中，當點P與A重合，點Q與E重合時，四邊形PQGC是平行四邊形，此時

如圖3中，當四邊形QPGC是平行四邊形時，．

如圖4中，當四邊形PQCG是平行四邊形時，作于M，CE交DF于N．

易知，，

如圖中，當四邊形PQCG是平行四邊形時，，

綜上所述，滿足條件的平行四邊形的面積為或或．

如圖5中，連接OD、OE、OB、OC．

四邊形AOHD是平行四邊形，

，，

四邊形CDOH是平行四邊形，

，

四邊形CDOH是矩形，

，

≌，

，

，，

，，，，

：：：：：3：1．