Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中，四邊形是菱形，點的坐標為，平行于對角線的直線從原點出發，沿軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線與菱形的兩邊分別交于點、，直線運動的時間為（秒）．

（1）求點的坐標；

（2）當時，求的值；

（3）設的面積為，求與的函數表達式，并確定的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或t=;

（3）S= ，當t=5時，S最大值=10.

【解析】

（1）過點C作CH⊥OA于H，由勾股定理求出OC，得出CB，即可得出結果；

（2）分兩種情況：①當0≤t≤5時，由菱形的性質得出OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB，再由平行線得出△OMN∽△OAC，得出比例式求出OM即可；

②當5≤t≤10時，設直線MN與OA交于點E．，同①可得AM= ，再證出△AEM∽△OAC．得出對應邊成比例求出AM=AE，得出OE即可；

（3）分兩種情況①當0≤t＜5時，求出△OAC的面積，再由相似三角形的性質得出 ，即可得出結果；

②當5≤t≤10時，過點M作MT⊥x軸于T，由△BMN∽△AME可知，MT=（t-5），得出S△OMN=S△ONE-S△OME=-（t-5）2+10，即可得出結果．

解：（1）過點作于，如圖1所示：

∵，

∴，，

∴，

∵四邊形是菱形，

∴，，

∴點的坐標為；

（2）分兩種情況：

當時，如圖2所示：

∵四邊形是菱形，

∴，.

∵，

∴，

∴.

∵，

∴

∴，

∴.

②當5≤t≤10時，如圖3所示：

設直線MN與OA交于點E．，同①可得AM=．

∵OC∥AB，MN∥AC，

∴∠COA=∠MAE，∠CAO=∠MEA，

∴△AEM∽△OAC．

∴ ,

∵OC=OA，

∴AM=AE，

∴OE=OA+AE= ，

∴t=.

綜上所述：

t=或t=；

（3）分兩種情況：

①當0≤t＜5時（如圖1），

S△OAC=OACH=10，

∵△OMN∽△OAC，

∴，即

∴S=t2（0≤t＜5）；

②當5≤t≤10時，過點M作MT⊥x軸于T，如圖4所示：

由△BMN∽△AME可知，MT=（t-5），

∴S△OMN=S△ONE-S△OME=-（t5）2+10；

綜上所述：S= ，

∴當t=5時，S最大值=10．