Question

【題目】定義：（一）如果兩個函數y1，y2，存在x取同一個值，使得y1＝y2，那么稱y1，y2為“合作函數”，稱對應x的值為y1，y2的“合作點”；（二）如果兩個函數為y1，y2為“合作函數”，那么y1+y2的最大值稱為y1，y2的“共贏值”．

（1）判斷函數y＝2x+4m與y＝是否為“合作函數”，如果是，請求出m＝1時它們的“合作點”；如果不是，請說明理由；

（2）判斷函數y＝2x+4m與y＝x﹣1（|x|≤2）是否為“合作函數”，如果是，請求出“合作點”；如果不是，請說明理由；

（3）已知函數y＝x+2m與y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函數”，且有唯一“合作點”．

①求出m的取值范圍；

②若它們的“共贏值”為24，試求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）是，x＝﹣3或x＝1；（2）不是，見解析；（3）①﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②m＝2﹣或m＝3．

【解析】

（1）由于與都經過第一、第三象限，所以兩個函數有公共點，可以判斷兩個函數是“合作函數”，再聯立，解得或，即可求“合作點”；

（2）假設是“合作函數”，可求“合作點”為，再由，可得當時，是“合作函數”；當或時，不是“合作函數”；

（3）①由已知可得：，解得或，再由已知可得當時，，當時，，因為只有一個“合作點”則或；②，由①可分兩種情況求的值：當時，時，在的有最大值為，當時，時，在的有最大值為，分別求出符合條件的值即可．

解：（1）是經過第一、第三象限的直線，是經過第一、第三象限的雙曲線，

兩函數有公共點，

存在取同一個值，使得，

函數與是“合作函數”；

當時，，

，解得或，

“合作點”為或；

（2）假設函數與是“合作函數”，

，

，

，

，

，

當時，函數與是“合作函數”；當或時，函數與不是“合作函數”；

（3）①函數與是“合作函數”，

，

，

或，

時有唯一合作點，

當時，，

當時，，

或時，滿足題意；

②，

對稱軸為，

或，

當時，時，在的有最大值為，

，

或，

；

當時，時，在的有最大值為，

，

或，

；

綜上所述：或．