Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知A（2，0），以OA為一邊在第四象限內畫正方形OABC，D（m，0）為x軸上的一個動點，以BD為一邊畫正方形BDFE（點E在直線x=2的右側）．

（1）當m>2時（如圖1），試判斷線段AE與CD的數量關系，并說明理由．

（2）當AE=時，求點F的坐標．

（3）連接CF、OF，請直接寫出CF+OF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE=CD（2）點F為（7，-3）或（-3，7）（3）2

【解析】分析：（1）由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，再根據∠CBD=∠ABE，即可得到△CBD≌△ABE，進而得出CD=AE；

（2）當點D在點A右側時，根據CD=AE可求AD=3,再證明△BAD≌△DHF，易得結論；當點D在點A左側時，方法同上；

（3）根據軸對稱的性質易求CF+OF的最小值為.

詳解：（1）AE=CD．理由如下：

∵四邊形OABC、四邊形BDFE是正方形，

∴ ∠CBA=∠DBE=90°且CB=AB，BD=BE

∴∠CBD=∠ABE

在△CBD和△ABE中，

∴△CBD≌△ABE，

∴CD=AE．

（2）當點D在點A右側時如圖，

由（1）可知CD=AE=，

∴，

∴AD=5-2=3

過F點作FH⊥x軸于點H，

易證得△BAD≌△DHF，

∴DH=AB=2，FH=AD=3，

∴OH=OD+DH=5+2=7,

故點F（7，-3）

當點D在點A左側時如圖，

易證得△CBD≌△ABE，

∴CD=AE=，

∴，

∴AD=5+2=7

過F點作FG⊥x軸于點G，

易證得△BAD≌△DGF，

∴DG=AB=2，FG=AD=7.

∴OG=OD-DG=5-2=3,

故點F（-3，7）

綜上，點F為（7，-3）或（-3，7）.

（3）

點睛: 解題的難點在于作輔助線構造全等三角形，運用全等三角形的對應邊相等得出結論．