Question

【題目】已知點，拋物線與軸從左到右的交點為，．

（1）若拋物線經過點，求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）當時，求的值；

（3）直線經過點，與軸交于點，

①求點的坐標；

②若線段與拋物線有唯一公共點，直接寫出正整數的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①，②和

【解析】

（1）由拋物線經過，把點M代入即可求出，拋物線的解析式即求出；把拋物線解析式化為頂點式，即可得頂點點坐標；

（2）方法一：利用拋物與軸的交點坐標關于對稱軸對稱的特點求解，設，則，，由拋物線對稱軸為直線：，①當，則可得，求出，此時代入拋物線可求出；②當，則，此時可出，此時代入拋物線解析式得；綜上所述即為的值；

方法二：利用物線與軸有兩個交點，用判別式得出的取值范圍，令，用求根公式表示出方程的解，當時，可得兩個解的關系，解之，即可得的值；

（3）①把代入直線，即可得b的值，寫出直線解析式，令，即可求與軸交于點的縱坐標，即求得點坐標；

②由線段與拋物線有唯一公共點，聯立直線和拋物線的方程，可解得此時符合題意的；當拋物線經過點M時,解得c=2 ,此時拋物線與線段MN有2個公共點，與題意不符；當拋物線往下平移到經過點N時，解得c=-1 ,此時拋物線與線段MN只有交點N，當-1≤c<2時,拋物線與線段MN只有-個公共點，而此時滿足條件的正整數c的值為1，綜上所述，即可得符合條件的的值．

解：（1）拋物線經過，

，

解得：．

，

，

頂點為，

（2）方法一：

設，則，，

①若，則，

拋物線對稱軸為直線：，點、關于對稱軸對稱，

，即，

解得：，

代入拋物線解析式得：，

解得：；

②若，則，

，

解得：，

代入拋物線解析式得：，

解得：；

綜上所述的值為或．

方法二：

（2）拋物線與軸有兩個交點，

，

解得，

令，

解得，

點，

點，

當時，

，

或

，解得或．

（3）①直線經過點，

，

解得：，

直線解析式為，

當時，，

點坐標為．

②滿足條件的正整數的值為和；

理由如下：

當線段與拋物線只有一個公共點時，

，

∴，

△，

所以，

此時方程的解為，

∴此時交點在線段上，滿足題意段與拋物線有唯一公共點；

當拋物線經過點M時,解得c=2 ,此時拋物線與線段MN有2個公共點，與題意不符；

當拋物線往下平移到經過點N時，解得c=-1 ,此時拋物線與線段MN只有交點N，

∴當-1≤c<2時,拋物線與線段MN只有-個公共點

∴此時滿足條件的正整數c的值為1；

綜上所述，滿足條件的正整數c的值為1或3．