Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，OF⊥AB，交AC于點F，點E在AB的延長線上，射線EM經過點C，且∠ACE+∠AFO＝180°．

（1）求證：EM是⊙O的切線；

（2）若∠A＝∠E，⊙O的半徑為1，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如下圖，根據垂徑定理得∠AOF=90°，根據三角形內角和得到∠A+∠AFO=90°，根據等腰三角形的性質得到∠OCE=90°，從而證切線；

（2）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，得到△BOC是等邊三角形，根據扇形和等邊三角形的面積公式即可得到結論．

解：（1）連接OC，

∵OF⊥AB，

∴∠AOF＝90°，

∴∠A+∠AFO=90°，

∵∠ACE+∠AFO＝180°，∠ACE+∠ACM＝180°

∴．∠AFO=∠ACM

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO+∠ACM．＝90°，

∴∠OCM＝90°

∴OC⊥ME，

∴EM是⊙O的切線；

（2）∵∠EOC＝2∠A=2∠E

又∵∠EOC+∠E=∠COM=90°，

∴∠E+2∠E=90°，

∴∠E＝30°，

∴∠EOC＝60°，

∴CE=OCtan60°=，△OCB是等邊三角形

∴陰影部分的面積＝．