Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點P在BC邊上，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉90°得到線段PE，過點E作EF⊥BC，分別交直線BC，AC于點F，G．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：BP=EF；

（3）連接PG，CE，用等式表示線段PG，CE，CD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）結論：PG2=CD2+CE2，理由見解析

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可．

（2）證明△ABP≌△PFE（AAS），即可解決問題．

（3）證明PF為線段EG的垂直平分線，可得PE=PG，再利用勾股定理即可解決問題．

解：（1）補全的圖形如圖所示；

（2）證明：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵線段PA繞點P順時針旋轉90°得到線段PE，

∴PA=PE，∠APE=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵EF⊥BC于F，

∴∠EFP=90°=∠B，

在△ABP和△PFE中，

∵∠B=∠EFP，∠1=∠3，PA=PE，

∴△ABP≌△PFE（AAS），

∴BP=EF．

（3）結論：PG2=CD2+CE2．

理由：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD．

∵△ABP≌△PFE，

∴AB=PF，

∴BC=PF=CD，

∴BC-PC=PF-PC，即BP=CF．

又∵BP=EF，

∴EF=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，EF=CE．

∵∠FCG=∠ACB=∠DCB=45°，

∴CF=FG=EF，

∴PF為線段EG的垂直平分線，

∴PE=PG．

在Rt△PFE中，有PE2=PF2+EF2，

∴PG2=CD2+CE2．