Question

【題目】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設AE＝x，△AEF的面積為y．

（1）CD= ，AD= ；

（2）若EF⊥AB，當點E在線段AB上移動時；

①求y與x的函數關系式；（寫出自變量x的取值范圍）

②當x取何值時，y有最大值？并求其最大值

（3）若F在直角邊AC上（點F與A、C兩點均不重合），點E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②當x＝＜5時，最大＝；（3）存在，

【解析】

（1）先根據勾股定理求出AB的長，再根據Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的長；

（2）①分別根據x的取值范圍及三角形的面積公式分類可得x、y的函數關系式；

②根據①中所求的函數關系式求出其最值即可．

（3）先求得△ABC的面積的，進而得到△AEF得到面積的函數關系式，讓它等于3，列式即可求解．

解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA＝∠ACB＝90°，

又∠CAD＝∠CAD，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴，即，

∴CD＝，AD＝．

（2）①由于E的位置不能確定，故應分兩種情況討論：

如圖A：當0＜x≤AD，即0＜x≤時，

∵EF⊥AB，

∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即，

∵AC＝3，BC＝4，AE＝x，

∴，EF＝x，

S△AEF＝y＝．

如圖B：當AD＜x≤AB，即＜x≤5時，

∵EF⊥AB，

∴Rt△BEF∽Rt△BCA，

∴，

∵AE＝x，△AEF的面積為y，，

∴EF＝，

．

②當如圖A：當0＜x≤AD，即0＜x≤時，

，

當x＝AD，即x＝時，y最大＝．

如圖B：當AD＜x≤BD，即＜x≤5時，

，y最大＝，此時x＝2.5＜5，故成立．

故y最大＝．

（3）存在．

假設存在，當0＜x≤5時，

∵△ABC的周長為3+4+5＝12，

∴AE+AF＝6，

∴AF＝6﹣x，∴0＜6﹣x＜3，

∴3＜x＜6，

∴3＜x≤5，

作FG⊥AB于點G，

由△AFG∽△ACD，

∴，

∴，

即FG＝（6﹣x），

∴S△AEF＝，

∴3＝，

解得：x1＝，x2＝，

∵3＜x≤5，

∴x1＝（符合題意），x2＝（不合題意，舍去），

故存在x，直線EF將△ABC的周長和面積同時平分，此時x＝．