Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．

（1）求證：BE=CD；

（2）連接BF，若BF平分∠ABE，EF=2，BF=4，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）8

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質和角平分線得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；

（2）由（1）知△ABE是等腰三角形，得出BF⊥AE，AF=2EF=4，由AAS證明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面積=△ECF的面積，因此平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積= AEBF，即可得出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，∴BE=CD；

（2）∵AB=BE，BF平分∠ABE，，

∴AF=2EF=4，BF⊥AE.

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

∠D=∠ECF ,

∠DAF=∠E,

AF=EF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面積=△ECF的面積，

∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AEBF=×4×4=8．