Question

【題目】觀察下列各式：

13＝×12×22

13+23＝9＝×22×32

13+23+33＝36＝×32×42

13+23+33+43＝100＝×42×52

回答下面的問題：

(1)猜想：13+23+33+…+(n－1)3+ n3＝________.

(2)利用你得到的(1)中的結論，計算13+23+33+…+993+1003的值.

(3)計算：213+223+…+993+1003的值.

Answer 1

【答案】（1）n2(n+1)2(2) 25502500；(3) 25458400.

【解析】

（1）（2）觀察已知的等式，發現：等式的左邊是連續自然數的立方和，等式的右邊是連續自然數的和的平方；由此得出答案即可；

（3）根據（1）中發現的結論，即可求得結論．

(1)∵13＝×12×22

13+23＝9＝×22×32

13+23+33＝36＝×32×42

13+23+33+43＝100＝×42×52

…

∴猜想：13+23+33+…+(n－1)3+ n3＝n2(n+1)2；

故填：n2(n+1)2

(2) 13+23+33+…+993+1003=×1002×1012=25502500；

(3) 213+223+…+993+1003

=13+23+33+…+993+1003(13+23+33+43+…203)

= ×1002×1012×202×212

=25458400.