Question

【題目】已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE為直徑的⊙O與BC相切于D,與AC相交于F,連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）連接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OD，由 OD=OA，可得∠1=∠2，再由BC為⊙O的切線，根據切線的性質可得∠ODB=90°，已知∠C=90°，所以∠ODB=∠C，即可判定OD∥AC，根據平行線的性質可得∠3=∠2，所以∠1=∠3，即可判定AD是∠BAC的平分線；（2）連接DF，已知∠B=30°，可求得∠BAC=60°，再由AD是∠BAC的平分線，可得∠3=30°，已知BC是⊙O的切線，根據弦切角定理可得∠FDC=∠3=30°，所以CD= CF=，同理可得AC=CD=3，所以AF=2，過O作OG⊥AF于G，由垂徑定理可得GF=AF=1，四邊形ODCG是矩形，所以CG=2，OG=CD=，由勾股定理可得OC=．

試題解析：

（1）證明：連接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，

∵BC為⊙O的切線，∴∠ODB=90°，∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，

∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AD是∠BAC的平分線；

（2）解：連接DF，∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，

∵AD是∠BAC的平分線，∴∠3=30°，∵BC是⊙O的切線，∴∠FDC=∠3=30°，

∴CD=CF=，∴AC=CD=3，∴AF=2，

過O作OG⊥AF于G，∴GF=AF=1，四邊形ODCG是矩形，

∴CG=2，OG=CD=，∴OC==．