Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過點B（6，0）的直線AB與直線OA相交于點A（4，2），動點M在y軸上運動．

（1）求直線AB的函數解析式；

（2）動點M在y軸上運動，使MA+MB的值最小，求點M的坐標；

（3）在y軸的負半軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+6；（2）M（0，）；（3）（0，-2）或（0，-6）.

【解析】

（1）設AB的函數解析式為：y=kx+b，把A、B兩點的坐標代入解方程組即可.

（2）作點B關于y軸的對稱點B′，則B′點的坐標為（-6，0），連接AB′則AB′為MA+MB的最小值，根據A、B′兩點坐標可知直線AB′的解析式，即可求出M點坐標，（3）分別考慮∠MAB為直角時直線MA的解析式，∠ABM′為直角時直線BM′的解析式，求出M點坐標即可，

（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+b,則 解方程組得

直線AB的函數解析式為y= -x+6，

（2）如圖作點B關于y軸的對稱點B′，則點B′的坐標為（-6，0），連接AB′則AB′為MA+MB的最小值，設直線AB′的解析式為y=mx+n，則 ，

解方程組得

所以直線AB′的解析式為，

當x=0時，y=，

所以M點的坐標為（0，），

（3）有符合條件的點M，理由如下：

如圖：因為△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，

當∠MAB=90°時，直線MA垂直直線AB，

∵直線AB的解析式為y=-x+6，

∴設MA的解析式為y=x+b，

∵點A（4，2），

∴2=4+b,

∴b=-2，

當∠ABM′=90°時，BM′垂直AB，

設BM′的解析式為y=x+n,

∵點B（6，0）

∴6+n=0

∴n=-6,

即有滿足條件的點M為（0，-2）或（0，-6）.