Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點M的坐標為(0，2)，以M為圓心，以4為半徑的圓與x軸相交于點B、C，與y軸正半軸相交于點A過A作AE∥BC，點D為弦BC上一點，AE＝BD，連接AD，EC．

(1)求B、C兩點的坐標；

(2)求證：AD＝CE；

(3)若點P是弧BAC上一動點(P點與A、B點不重合)，過點P的⊙M的切線PG交x軸于點G，若△BPG為直角三角形，試求出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)點B的坐標為(﹣2，0)，點C的坐標為(2，0)；(2)證明見解析；(3)所有符合條件的點P的坐標是(﹣4，2)，(4，2)，(﹣2，4)，(2，4)．

【解析】

(1)根據勾股定理可以求得OB和OC的長度，從而可以得到B、C兩點的坐標；

(2)根據平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質可以證明結論成立；

(3)根據題意，畫出相應的圖形，然后利用分類討論的方法可以得到點P的坐標．

解：(1)連接MB、MC，如圖一所示，

∵點M的坐標為(0，2)，以M為圓心，以4為半徑的圓與x軸相交于點B、C，

∴MB＝MC＝4，OM＝2，

∵∠MOB＝∠MOC＝90°，

∴OB＝，

∴OC＝2，

∴點B的坐標為(﹣2，0)，點C的坐標為(2，0)；

(2)證明：作AF∥EC交x軸于點F，如圖一所示，

∵AE∥BC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∴AE＝FC，AF＝EC，

∵AE＝BD，

∴BD＝CF，

又∵OB＝OC，

∴OD＝OF，

在△AOD和△AOF中，

，

∴△AOD≌△AOF(SAS)，

∴AD＝AF，

∴AD＝EC，

即AD＝CE；

(3)當△BP1G是直角三角形時，如圖二所示，

∵MA＝MP1＝4，點M的坐標為(0，2)，

∴點P1的坐標為(﹣4，2)；

當△BP2G是直角三角形時，如圖二所示，

∵MA＝MP2＝4，點M的坐標為(0，2)，

∴點P2的坐標為(4，2)；

當△BP3G是直角三角形時，如圖三所示，

∵OB＝2，OM＝2，

∴tan∠MBO＝ ，

∴∠MBO＝30°，

∴∠MBP3＝60°，

∵BM＝MP3，

∴△BMP3是等邊三角形，

∴BP3＝4，

∴點P3的坐標為(﹣2，4)；

當△BP4G是直角三角形時，如圖三所示，

∵BP4＝8，∠P4BG＝30°時，

∴點P4的縱坐標是：8×sin30°＝8×＝4，橫坐標是：﹣2+8×cos30°＝﹣2+8×＝﹣2+4＝2，

∴點P4的坐標為(2，4)；

由上可得，若△BPG為直角三角形，所有符合條件的點P的坐標是(﹣4，2)，(4，2)，(﹣2，4)，(2，4)．