Question

如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點E、F．
求證：BE+CF＞EF．

Answer 1

分析：延長ED到H，使DE=DH，連接CH，FH，證△EFD≌△HFD，推出EF=FH，證△BDE≌△CDH，推出BE=CH，在△CFH中，由三角形三邊關系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．

解答：證明：
延長ED到H，使DE=DH，連接CH，FH，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC，
∵DE、DF分別為∠ADB和∠ADC的平分線，
∴∠1=∠4=

1

2

∠ADB，∠3=∠5=

1

2

∠ADC，
∴∠1+∠3=∠4+∠5=

1

2

∠ADB+

1

2

∠ADC=

1

2

×180°=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠3+∠2=90°，
即∠EDF=∠FDH，
在△EFD和△HFD中，

DE=DH ∠FDE=∠FDH DF=DF

，
∴△EFD≌△HFD（SAS），
∴EF=FH，
在△BDE和△CDH中，

DE=DH ∠1=∠2 BD=DC

，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE=CH，
在△CFH中，由三角形三邊關系定理得：CF+CH＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理的應用，題目比較好，但是有一定的難度．