Question

【題目】如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，弦CE交AB于點，連結OE，AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．

（1）求證：CE⊥AB；

（2）求證：PC是⊙O的切線；

（3）若BD=2OD，且PB=9，求⊙O的半徑長和tan∠P的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】分析：（1）連結OC，如圖，根據圓周角定理得∠POC=2∠CAB，由于∠POE=2∠CAB，則∠POC=∠POE，根據等腰三角形的性質即可得到CE⊥AB；

（2）由CE⊥AB得∠P+∠PCE=90°，加上∠E=∠OCD，∠P=∠E，所以∠OCD+∠PCE=90°，則OC⊥PC，然后根據切線的判定定理即可得到結論．

（3）設⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，易證得Rt△OCD∽Rt△OPC，根據相似三角形的性質得OC2=ODOP，即（3x）2=x（3x+9），解出x，即可得圓的半徑；同理可得PC2=PDPO=（PB+BD）（PB+OB）=162，可計算出PC，然后在Rt△OCP中，根據正切的定義即可得到tan∠P的值．

詳解：（1）證明：連接OC，

∴∠COB=2∠CAB，

又∠POE=2∠CAB．

∴∠COD=∠EOD，

又∵OC=OE，

∴∠ODC=∠ODE=90°，

即CE⊥AB；

（2）證明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，

∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，

又∠OCD=∠E，

∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切線；

（3）解：設⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，

∵CD⊥OP，OC⊥PC，

∴Rt△OCD∽Rt△OPC，

∴OC2=ODOP，即（3x）2=x（3x+9），

解之得x=，

∴⊙O的半徑r=，

同理可得PC2=PDPO=（PB+BD）（PB+OB）=162，

∴PC=9，

在Rt△OCP中，tan∠P=．