Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，直線經過點．

（1）求的值；

（2）若點是直線上方拋物線的一部分上的動點，過點P作軸于點F，交直線AB于點D，求線段的最大值

（3）在（2）的條件下，連接，點是拋物線對稱軸上的一動點，在拋物線上是否存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=－，c=3；（2）；（3）存在，G（1，）或(－5，－)或(3，－)

【解析】

（1）先根據直線求得點A，B的坐標，代入到二次函數中，建立關于b，c的二元一次方程求解即可；

（2）設點P（m，－ m－m＋3），則D（m， m＋3）,用含m的代數式表示線段PD的長，轉化為二次函數的問題求其最大值；

（3）分CD為平行四邊形的對角線和邊兩種情況，分類討論，并結合中點坐標公式及平行四邊形及平移的性質，計算求解即可．

解：（1）由得， 當時，y＝3；當時，，

即與坐標軸的交點坐標為

分別將代入，

得

解得，b=－，c=3．

（2）由（1）得y＝－x－x＋3，

設點P（m，－ m－m＋3），

則D（m， m＋3）

∴PD=－m－m＋3－(m＋3)=－m－m=－ (m＋2)＋

所以當m＝－2時，PD最大，最大值是．

（3）存在點G ，使得以C、D、G、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．他們分別是：G(1，)或G(3，－)或G(－5，－)．理由如下：

由（2）得 m=-2時，點D(-2，)，由二次函數可求得點C(2，0)，對稱軸為x＝-1

設G(n，－ n－n＋3)，Q(－1，p)，CD與y軸交于點E，顯然E為CD中點．

①當CD為對角線時，對角線QE的中點即為點E，由中點坐標公式可得：

n＋（-1）=0，所以n＝1，此時點G（1，）

②當CD為邊時，

i）若G在Q上邊，由平行四邊形及平移的性質可知，點D向右平移4個單位，向下平移個單位到點C，故點G也同樣的平移到點Q， 則n＋4＝-1，則n=-5，此時點G(－5，－)．

ii）若G在Q下邊，由平行四邊形及平移的性質可知，點D向右平移4個單位，向下平移個單位到點C，故點Q也同樣的平移到點G，則-1＋4＝n，則n=3，此時點G(3，－)．