Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點O與邊AB的中點重合，OD交BC于點F，OE經過點C，且∠DOE=∠B．

（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長；
（2）將扇形紙片DOE繞點O逆時針旋轉，OD，OE與邊AC分別交于點M，N（如圖2），當CM的長是多少時，△OMN與△BCO相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，點O是AB的中點，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

過點F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，

∵FC=FO，FH⊥OC，

∴CH=OH= ，∠CHF=90°．

∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，

∴△CHF∽△BCA．

∴ = ．

∵CH= ，AB=10，BC=6，

∴CF= ．

∴CF的長為 ．

（2）解：①若△OMN∽△BCO，如圖2，

則有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴ = ．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM= ．

∴CM=AC﹣AM= ．

②若△OMN∽△BOC，如圖3，

則有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴ = = ．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON= ，CN= ．

過點M作MG⊥ON，垂足為G，如圖3，

∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，

∴∠MNO=∠MON．

∴MN=MO．

∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，

∴NG=OG= ．

∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，

∴△MGN∽△ACB．

∴ = ．

∵GN= ，BC=6，AB=10，

∴MN= ．

∴CM=CN﹣MN= ﹣ = ．

∴當CM的長是 或 時，△OMN與△BCO相似．

【解析】（1）在直角三角形中由∠ACB=90°，點O是AB的中點，得到OC=0B=OA，∠OCB=∠B，∠ACO=∠A，由∠DOE=∠B，得到∠FOC=∠OCF，由等角對等邊得到FC=FO，即△COF是等腰三角形；由FC=FO，FH⊥OC，得到CH=OH ，由∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA，得到△CHF∽△BCA，得到 比例，求出CF的長；（2）①若△OMN∽△BCO，則有對應角相等，即∠NMO=∠OCB，由∠OCB=∠B，得到∠NMO=∠B；再由∠A=∠A，得到△AOM∽△ACB，根據勾股定理由∠ACB=90°，求出AC=8，得到AM的值，即CM=AC﹣AM；②若△OMN∽△BOC，則有對應角相等∠MNO=∠OCB，由∠OCB=∠B，得到∠MNO=∠B，又因為∠ACO=∠A，所以△CON∽△ACB，得到比例，求出ON、CN的值；由∠MNO=∠MO，得到MN=MO，因為MG⊥ON，得到NG=OG，因為∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB，得到△MGN∽△ACB，得到比例 ，求出MN的值，得到CM=CN﹣MN，求出當CM的長是 或 時，△OMN與△BCO相似．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直角三角形斜邊上的中線(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．