Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，為坐標原點，的邊平行于軸．若的三個頂點都在二次函數的圖像上，則稱為該二次函數圖像的“伴隨三角形”．為拋物的“伴隨三角形”．

（1）若點是拋物線與軸的交點，求點的坐標．

（2）若點在該拋物線的對稱軸上，且到邊的距離為2，求的面積．

（3）設兩點的坐標分別為，比較與的大小，并求的取值范圍．

（4）是拋物線的“伴隨三角形”，點在點的左側，且，點的橫坐標是點的橫坐標的2倍，設該拋物線在上最高點的縱坐標為，當時，直接寫出的取值范圍和面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）當時，，當，且時，；（4），

【解析】

（1）由軸及伴隨三角形的定義，拋物線的對稱軸可得答案．

（2）由題意得：為拋物線的頂點，求解的坐標，結合已知條件，得到的坐標，進而求出與上的高可得的面積．

（3）先寫出兩點坐標，由 軸，當為拋物線的頂點時，不存在，當兩點的縱坐標相等時，不存在，求解對應的的值，再利用二次函數的性質分段得到答案，

（4）由求解拋物線的對稱軸，分討論最高點的位置，求解最高點在縱坐標，代入，利用二次函數的性質求解的范圍，再求解面積的最大值．

（1）當時，，∴

對稱軸：，

軸，

∴

（2）在拋物線上，也在對稱軸上，

為拋物線的頂點，

當時，

∴

到邊的距離為2，

∴

∴當時，

，

∴，

∴

∴

（3），

①當時，為拋物線的頂點，所以不成立，

②當

解得：，，

此時結合題意：軸，不成立

③當時，如圖

結合圖像得：，

④當且時，結合圖像可得：

⑤當時，結合圖像可得：

綜上：

當時，

當，且時，．

（4）

頂點

①當時，即

當時

當

解得：

由二次函數的性質得：

由，

為任意數

∴

②當時，

即：，頂點的縱坐標最大，

，

∴

綜上

當時，

軸，

此時，

當時，，

當時，時

∴

此時面積最大，最大面積是