Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，P為BA延長線上一點，點C在⊙O上，連接PC，D為半徑OA上一點，PD＝PC，連接CD并延長交⊙O于點E，且E是的中點．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若AB＝8，CDDE＝15，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，OE，根據等腰三角形的性質得到∠OEC=∠OCE，求得∠E+∠ODE=90°，得到∠PCD=∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到結論；
（2）連接AC，BE，BC，根據相似三角形的性質得到，推出CDDE=AO2-OD2；由△ACP∽△CBP，得到，得到PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2，把已知條件代入得到OD=1（負值舍去），求得AD=3，由CDDE=2ODPD，于是得到結論．

（1）證明：連接OC，OE，

∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE，
∵E是的中點，
∴，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠OEC+∠ODE=90°，
∵PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC，
∵∠PDC=∠ODE，
∴∠PCD=∠ODE，
∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠OEC=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）證明：連接AC，BE，BC，
∵∠ACD=∠DBE，∠CAD=∠DEB，
∴△ACD∽△EBD，
∴，
∴CDDE=ADBD=（AO-OD）（AO+OD）=AO2-OD2；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠PCO=90°，
∴∠ACP+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACP=∠BCO，
∵∠BCO=∠CBO，
∴∠ACP=∠PBC，
∵∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴，
∴PC2=PBPA=（PD+DB）（PD-AD）

=（PD+OD+OA）（PD+OD-OA）

=（PD+OD）2-OA2

=PD2+2PDOD+OD2-OA2，
∵PC=PD，
∴PD2=PD2+2PDOD+OD2-OA2，
∴OA2-OD2=2ODPD，
∴CDDE=2ODPD；

∵AB=8，
∴OA=4，
由CDDE=AO2-OD2；
∵CDDE=15，
∴15=42-OD2，
∴OD=1（負值舍去），
∴AD=3，
由CDDE=2ODPD，
∴PD=，
∴PA=PD-AD=．