Question

【題目】如圖，點B，C，D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，交BD于E，

∵∠B=30°，∠B= ∠COD，

∴∠COD=60°，

∵∠A=30°，

∴∠OCA=90°，

即OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，

∴∠OED=∠OCA=90°，

∴DE= BD= ，

∵sin∠COD= ，

∴OD=2，

在Rt△ACO中，tan∠COA= ，

∴AC=2 ，

∴S陰影= ×2×2 ﹣ =2 ﹣

【解析】（1）要證AC是⊙O的切線，連接OC,根據圓周角定理，可得出∠COD=60°，再證明OC⊥AC即可；
（2）由圖可知S陰影=SRt△OAC-S△OCD，求出兩個三角形的面積，就可以求出陰影部分的面積。