Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C、E是⊙O上的兩點，CE=CB，，延長AE交BC的延長線于點F.

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)求證：CE=CF

(3)若BD=1,,求直徑AB的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1

【解析】

（1）連接OC，可證得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD＋∠ABC＝90°，可得出∠OCD＝90°，即結論得證；

（2）證明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，則CE＝CF；

（3）證明△DCB∽△DAC，可求出DA的長，再求出AB長即可.

（1）連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD＋∠ABC＝90°，

∵CE＝CB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∵∠BCD＝∠CAE，

∴∠CAB＝∠BCD，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB＋∠BCD＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB＝CF，

又∵CB＝CE，

∴CE＝CF；

（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，

∴△DCB∽△DAC，

∴，

∴

∴DA＝2，

∴AB＝ADBD＝21＝1，