Question

【題目】已知：如圖1,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,點A在x軸正半軸上,點C在第一象限,且∠COA=60°,以OA、OC為鄰邊作菱形OABC,且菱形OABC的面積為.

(1)求B. C兩點的坐標；

(2)動點P從C點出發沿射線CB勻速運動，同時動點Q從A點出發沿射線BA的方向勻速運動，P、Q兩點的運動速度均為2個單位/秒，連接PQ和AC，PQ和AC所在直線交于點D，點E為線段BQ的中點，連接DE，設動點P、Q的運動時間為t，請將△DQE的面積S用含t的式子表示，并直接寫出t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過點Q作QF⊥y軸于點F，當t為何值時，以P、B.、F.、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為：(3,3),點B的坐標為：(9,3)；（2）S=；（3）當t=0或4s時，以P.B. F. Q為頂點的四邊形為平行四邊形.

【解析】

（1）如圖1，過點C作CD⊥OA于點D，解直角三角形求出OD、CD的長即可解決問題．

（2）分兩種情形討論即可①如圖2中，當0≤t≤3時．②如圖3中，當t>3時．分別想辦法構建方程即可解決問題．

（3）分三種情形①如圖4中，當0≤t≤3時．②當t>3時，由PB=QF時．③當點Q在y軸左側時，構建PB=QF構建方程即可解決問題．

(1)如圖1，過點C作CD⊥OA于點D，

設菱形OABC的邊長為x，則OA=OC=BC=x，

∵∠COA=60°，

∴CD=OCsin60°=x，

∵菱形OABC的面積為，

∴xx=，

解得：x=±6，

∴OA=OC=BC=6，

∴CD=6×=3,OD=OCcos60°=3，

∴點C的坐標為：(3,3),點B的坐標為：(9,3)；

(2)①如圖2中,當0t3時,作PK∥AB交AC于K，則△PCK是等邊三角形。作DH⊥AB于H.

∵PK=PC=AQ，∠PDK=∠ADQ，∠KPD=∠DQA，

∴△PDK≌△QDA，

∴DK=AD= (62t)=3t,DH=ADsin60°= (3t),EQ=BQ= (6+2t)=3+t，

∴S=QEDH=.

②如圖3中,當t>3時,作PK∥AB交AC于K，則△PCK是等邊三角形。作DH⊥AB于H.

由△PDK≌△QDA，

∴DK=AD= (2t6)=t3,DH=ADsin60°= (t3),EQ=BQ= (6+2t)=3+t，

∴S=QEDH=.

綜上所述,S= .

(3)①如圖4中，當0t3時，作QK⊥OA于K.則AK=t，FQ=OK=6t，

當PB=FQ時，四邊形PBQF是平行四邊形，

∴62t=6t，解得t=0.

②當t>3時，由PB=QF時，2t6=6t，解得t=4，

③當點Q在y軸左側時，由PB=QF可得，t6=2t6，解得t=0，此種情形不存在.

綜上所述，當t=0或4s時，以P、B、 F.、Q為頂點的四邊形為平行四邊形.