Question

【題目】我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是等對角四邊形，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠B＝75°，則：∠C＝　 　°，∠D＝　 　°；

（2）已知，如圖2，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD是等對角四邊形，其中A（﹣2，0），C（2，0），B（-1，），點D在y軸上．

①若拋物線y＝ax2+bx+c過點A，C，D，求二次函數的解析式；

②若拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）過點A，C，點P在拋物線上，當滿足∠APC＝∠ADC的P點至少有3個時，總有不等式2n﹣+成立，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）150，75；（2）①y＝﹣x2+2；②n≤．

【解析】

（1）∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=75°，則∠B=75°=∠D，四邊形的內角和為360°，故∠C=150°，即可求解；
（2）①證明△ACD為等腰直角三角形，故點D（0，2），即可求解；
②以D（0，2）為圓心，AD長為半徑作⊙D，以D’（0，-2）為圓心，AD長為半徑作⊙D’，如圖所示，⊙D交y軸正半軸于點E，⊙D′交y軸負半軸于點F，當點P在優弧AEC和優弧AFC上時，∠APC=∠ADC，當拋物線過E點時滿足題意的P點有3個，即可求解．

（1）∠A≠∠C，∠A=60°，∠B=75°，則∠B=75°=∠D，
四邊形的內角和為360°，故∠C=150°，
故答案為：150，75；
（2）①如圖2，過點B作BH⊥x軸于點H，

則AH=OH=1，BH=，HC=3，
故tan∠HAB==tan∠HBC，
則∠BAH=∠CHB=60°，∴∠ABC=90°，
而∠DAO=∠DCO，∠CAB=60°，∠BCA=30°，
∴∠DAB≠∠DCB，故∠ADC=∠ABC=90°，
故△ACD為等腰直角三角形，故點D（0，2），
則拋物線的表達式為：y=ax2+2，
將點A的坐標代入上式并解得：a=-，
故拋物線的表達式為：y=-x2+2；
②∵A（-2，0）、C（2，0）、B（-1，-），
∴AB=2，BC=2，AC=4，
∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，
∵AD=CD，AB≠BC，
∴∠BAD≠∠BCD，
∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”
∴∠ADC=∠ABC=90°，∴D（0，2）
∵拋物線y=ax2+bx+c過點A、C，
∴y=a（x+2）（x-2）=ax2-4a，
即：a=-c，令t=2c2+16a-8，
則t=2c2-4c-8，


以D（0，2）為圓心，AD長為半徑作⊙D，以D′（0，-2）為圓心，AD長為半徑作⊙D′，
如圖所示，⊙D交y軸正半軸于點E，⊙D′交y軸負半軸于點F．

當點P在優弧AEC和優弧AFC上時，∠APC=∠ADC，當拋物線過E點時滿足題意的P點有3個，
此時，c=OE=OD+ED=2+2，
當滿足∠APC=∠ADC的P點至少有3個時，c≥2+2，
當c≥2+2時，t=2c2-4c-8≥16，
∵總有不等式2n-≤2c2+16a-8成立
∴2n-≤16，
解得：n≤．