Question

【題目】如圖，已知∠MON=90，A是∠MON內部的一點，過點A作AB⊥ON，垂點為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E、F同時從O點出發，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動。設運動時間為t秒（t＞0）。

（1）當t=1秒時，ΔEOF與ΔABO是否相似？請說明理由。

（2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA，為什么？

（3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得SΔAEF=S四邊形ABOF ？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）△EOF∽△ABO（2）EF⊥OA（3）t1=或t2=

【解析】試題分析：（1）由=及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．

（2）證明Rt△EOF∽Rt△ABO，進而證明EF⊥OA．

（3）由已知S△AEF=S四邊形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，從而可求出t的值．

試題解析：（1）∵t=1，

∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，

∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴，

∵∠MON=∠ABE=90°，

∴△EOF∽△ABO．

（2）在運動過程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．

∴．

又∵∠EOF=∠ABO=90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB=∠EOF．

∵∠AOB+∠FOC=90°，

∴∠EOF+∠FOC=90°，

∴EF⊥OA．

（3）如圖，連接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，

∴BE=4﹣1.5t

∴S△FOE=OEOF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，

S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6

∵S△AEF=S四邊形ABOF

∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，

∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，

解得t=或t=．

∴當t=或t=時，S△AEF=S四邊形ABOF．