Question

【題目】已知拋物線，，，…，（n為正整數），點A(0，1)．

（1）如圖1，過點A作y軸垂線，分別交拋物線，，，…，于點，，，…，（和點A不重合）．

①求的長．

②求的長．

（2）如圖2，點P從點A出發，沿y軸向上運動，過點P作y軸的垂線，交拋物線于點，，交拋物線于點，，交拋物線于點，，……，交拋物線于點，（在第二象限）．

①求的值．

②求的值．

（3）過x軸上的點Q（原點除外），作x軸的垂線分別交拋物線，，，…，于點，，，…，，是否存在線段（i，j為正整數），使，若存在，求出i＋j的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①1；②2020；（2）①1；②2020；（3）存在，最小值是2022

【解析】

（1）①利用函數解析式可得到拋物線的頂點坐標，再根據二次函數的對稱性，可得點P1的橫坐標，從而可求出AP1的值；②求出y2＝x2＋2x＋1的對稱軸，利用二次函數的性質，就可得到點P2的橫坐標，即可求出AP2的值，同理可得到AP3的值，根據其規律可得到AP2020的值；

（2）①設點C1的橫坐標為x1，點D1的橫坐標為x2，可得到PC1＝－x1，PD1＝x2，從而可表示出PC1－PD1，利用二次函數的對稱性可得到x1＋x2＝－1，代入計算可求解；②利用同樣的方法求出PC2－PD2的值，根據其規律可得到PC2020－PD2020的值；

（3）設點Q(x，0)，可得到OQ的長，再利用已知條件及函數解析式，分別求出E1E2＝OQ，E1E3＝2OQ，E1E4＝3OQ，根據其規律可得到E1En＝（n－1）OQ，再由， 就可求出i和j的值，然后求和即可.

（1）解：①，

∴拋物線y1的頂點坐標為，

∵AP1∥x軸，

∴點A和點P1關于對稱軸對稱，

∴點P1的橫坐標為，

∴點P1，

∴AP1＝|－1－0|＝1；

②∵y2＝x2＋2x＋1的對稱軸為直線， 點P2的橫坐標為－2，

∴AP2＝|－2－0|＝2；

同理可知：AP3＝3，

……

AP2020＝2020；

（2）解：①設點C1的橫坐標為x1，點D1的橫坐標為x2，

∴PC1＝－x1， PD1＝x2，

∴PC1－PD1＝－x1－x2＝－（x1＋x2），

拋物線y＝x2＋x＋1對稱軸為直線x＝， 點C1和點D1關于對稱軸對稱，

∴，

∴x1＋x2＝－1，

PC1－PD1＝－（－1）＝1；

②設點C2的橫坐標為x1，點D2的橫坐標為x2，

∴PC1＝－x1，PD1＝x2，

∴PC2－PD2＝－x1－x2＝－（x1＋x2），

拋物線y＝x2＋2x＋1對稱軸為直線x＝－，點C2和點D2關于對稱軸對稱，

∴，

∴x1＋x2＝－2，

∴PC2－PD2＝－（－2）＝2；

……

PC2020－PD2020＝－（－2020）＝2020；

（3）解：設點Q（x，0）

∴OQ＝－x，

∴E1E2＝x2＋x＋1－（x2＋2x＋1）＝－x＝OQ，

E1E3＝x2＋x＋1－（x2＋3x＋1）＝－2x＝2OQ，

E1E4＝x2＋x＋1－（x2＋4x＋1）＝－3x＝3OQ，

E1En＝x2＋x＋1－（x2＋nx＋1）＝－（1－n）x＝（n－1）OQ，

∵，

∴EiEj＝2020OQ，

∴i＝1，j＝2020＋1＝2021，

∴i＋j的最小值為1＋2021＝2022.