Question

【題目】如圖，內接于半徑為的半，為直徑，點是弧的中點，連結交于點，平分交于點，則______．若點恰好為的中點時，的長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先根據直徑所對的圓周角是直角可求出∠ACB=90°，再根據三角形的內角和定理可求出∠BAC+∠ABC=90°，然后根據角平分線的性質可求出∠DAB+∠DBA=45°，最后利用外角的性質即可求出∠MAD的度數；
（2）如圖連接AM，先證明△AME∽△BCE，得到 再列代入數值求解即可．

解：（1）∵為直徑，

∴∠ACB=90°.

∴∠BAC+∠ABC=90°

∵點是弧的中點，

∴∠ABM=∠CBM=∠ABC.

∵平分交于點，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.

∴∠DAB+∠DBA=∠ABC+∠BAC=45°.

∴45°.

（2）如圖連接AM．

∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°
∵∠ADM=45°，
∴MA=MD，
∵DM=DB，
∴BM=2AM，設AM=x，則BM=2x，
∵AB=4，
∴x2+4x2=160，
∴x=4 （負根已經舍棄），
∴AM=4，BM=8，

∵∠MAE=∠CBM,∠CBM=∠ABM.

∴∠MAE==∠ABM.

∵∠AME=∠AMB=90°，

∴△AME∽△BMA.

∴

∴

∴ME=2.

故答案為：(1). (2). .