Question

【題目】如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．

(1)、求證：DE⊥AG；

(2)、如圖2，正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉α角（0°＜α＜360°），得到正方形OE′F′G′；

①在旋轉過程中，當∠OAG′是直角時，求α的度數；

②若正方形ABCD的邊長為2，在旋轉過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數，直接寫出結果不必說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、①、α=30°或150°；②、最大值為4+，α=315°.

【解析】

試題分析：(1)、延長ED交AG于點H，根據正方形的性質得出△AOG和△DOE全等，從而得出∠AGO=∠DEO，

根據∠AGO+∠GAO=90°得出∠GAO+∠DEO=90°，即得出垂直；(2)、①、根據∠OAG′=90°和∠OAG′=90°兩種情況分別進行計算；②當α=315°時， A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，最大值為4+.

試題解析：(1)、延長ED交AG于點H， ∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，∴OA=OD，OA⊥OD

在△AOG和△DOE中 ∴△AOG≌△DOE ∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°即DE⊥AG

(2)、①在旋轉過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：

(I)：α由0°增大到90°過程中，當∠OAG′=90°時，

∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；

(II)：α由90°增大到180°過程中，當∠OAG′=90°時，

同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．

綜上所述，當∠OAG′=90°時，α=30°或150°．

②當α=315°時， A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，最大值為4+，α=315°．