Question

已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點M。請探究：

（1）如圖（１），當點E在線段AC上，點D在AB延長線上時，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數量關系，并證明你的結論。

（2）如圖（2），當點E在CA的延長線上，點D在AB的延長線上時，若BD=CE，則（１）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；

（3）如圖（3），當點E在CA的延長線上，點D在線段AB上（點D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點M，若CE＝２BD，請直接寫出線段MD與線段ME的數量關系。

Answer 1

（1）DM=EM．理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）MD=ME．

【解析】

試題分析：（1）DM=EM；過點E作EF∥AB交BC于點F，然后利用平行線的性質和已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質即可證明題目的結論；

（2）成立；過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，然后利用平行線的性質與已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質即可證明題目的結論；

（3）MD=ME．過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，然后利用平行線的性質和已知條件得到△DBM∽△EFM，接著利用相似三角形的性質即可得到結論；

試題解析：（1）DM=EM；（1分）

證明：過點E作EF∥AB交BC于點F，（2分）

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF∥AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

，

∴△DBM≌△EFM，

∴DM=EM．

（2）成立；

證明：過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF∥AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

∴△DBM≌△EFM；

∴DM=EM；

（3）過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，

∴△DBM∽△EFM，

∴BD：EF=DM：ME，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠F=∠ABC，

∴∠F=∠C，

∴EF=EC，

∴BD：EC=DM：ME=1：2，

∴MD=ME．

考點：全等三角形的判定與性質．