Question

【題目】如圖，在中，是直徑，是弦，，連接交于點，．

（1）求證：是的切線；

（2）過點作于，交于，已知，．求的長；

（3）在（2）的條件下，求△的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）．

【解析】

（1）連接BE，由圓周角定理可得∠AEB=90°，∠B+∠EAB=90°，，從而得到∠DAE+∠EAB=90°，即AD⊥AB，問題得解；

（2）延長EF交⊙O于H，證明△EAG∽△CAE，得出，求出AE長，求出CG=GE=3，則AC=AG+3，可得出，解出AG=5；

（3）過點G作GM⊥AE，設ME=x，則AM=，利用勾股定理列方程求ME的長，從而求MG的長，求出△AEG的面積，然后由等高三角形面積比等于底邊之比求△ECG得面積，從而使問題得解．

解：（1）連接BE

在中，是直徑，

∴∠AEB=90°，∠B+∠EAB=90°，

又∵

∴∠DAE+∠EAB=90°，即AD⊥AB

∴是的切線；

（2）延長EF交⊙O于H，

∵EF⊥AB，AB是直徑，

∴，

∴∠EBA=∠AEH，

∵∠EAG=∠CAE，

∴△EAG∽△CAE，

∴，

∵AC=AD，

∴∠D=∠C，

∵∠C=∠DAE，

∴∠D=∠DAE，

∴AE=DE=2，

又∠BFE=∠BAD=90°，

∴AD∥EF，

∴∠D=∠CEF，

∴∠C=∠CEF，

∴CG=GE=3，

∴AC=AG+CG=AG+3，

∴，

∴AG=-8（舍）或AG=5，

即AG的長為5．

（3）過點G作GM⊥AE

由（2）可知，AE=，AG=5，CG=EG=3

設ME=x，則AM=

根據勾股定理可得，解得

∴MG=

∴

又∵

∴

∴．