Question

【題目】如圖，點F在ABCD的對角線AC上，過點F、B分別作AB、AC的平行線相交于點E，連接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由外角的性質可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因為∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得結論；

（2）作DH⊥AC于點H，由特殊角的三角函數可得∠CBE=30°，由平行線的性質可得∠2=∠CBE=30°，利用銳角三角函數可得AH，DH，由菱形的性質和勾股定理得CH，得AC．

（1）證明：∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵∠ABF＝∠FBC+∠FCB，∠AFB＝∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF，

∴ABEF是菱形；

（2）作DH⊥AC于點H，

∵，

∴∠CBE＝30°，

∵BE∥AC，

∴∠1＝∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2＝∠1，

∴∠2＝∠CBE＝30°，

Rt△ADH中，，

DH＝ADsin∠2＝4，

∵四邊形ABEF是菱形，

∴CD＝AB＝BE＝5，

Rt△CDH中，，

∴．