Question

【題目】已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，點O為AC的中點．

（1）當點P與點O重合時如圖1，求證：OE=OF
（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉，當點P在對角線AC上時，且∠OFE=30°時，如圖2，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關系？并給予證明．
（3）當點P在對角線CA的延長線上時，且∠OFE=30°時，如圖3，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關系？直接寫出結論即可．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AE⊥PB，CF⊥BP，

∴∠AEO=∠CFO=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF

（2）

解：圖2中的結論為：CF=OE+AE

選圖2中的結論證明如下：

延長EO交CF于點G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠EAO=∠GCO，

在△EOA和△GOC中，

，

∴△EOA≌△GOC（ASA），

∴EO=GO，AE=CG，

在Rt△EFG中，∵EO=OG，

∴OE=OF=GO，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等邊三角形，

∴OF=GF，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG+CG，

∴CF=OE+AE

（3）

解：圖3中的結論為：CF=OE﹣AE

選圖3的結論證明如下：

延長EO交FC的延長線于點G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠AEO=∠G，

在△AOE和△COG中，

，

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OE=OG，AE=CG，

在Rt△EFG中，∵OE=OG，

∴OE=OF=OG，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等邊三角形，

∴OF=FG，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG﹣CG，

∴CF=OE﹣AE．

【解析】（1）由△AOE≌△COF即可得出結論．（2）圖2中的結論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．（3）圖3中的結論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．