Question

【題目】如圖所示，邊長為2的等邊三角形ABC中，D點在邊BC上運動(不與B、C重合)，點E在邊AB的延長線上，點F在邊AC的延長線上，AD=DE=DF.

(1)若∠AED=30°，則∠ADB=_______°.

(2)求證：△BED≌△CDF

(3)點D在BC邊上從B至C的運動過程中，△BED周長變化規律為( )

A.不變 B.一直變小 C.先變大后變小 D.先變小后變大

Answer 1

【答案】(1)90°；(2)證明見解析；(3)D

【解析】

（1）根據AD=DE，可知∠DAE=∠AED，根據三角形內角和定理從而可知∠ADB的度數；

（2）通過AD=DE=DF，可以得知∠BDE=∠DFC，由三角形ABC為等邊三角形，可知∠DBE=∠FCD，從而根據AAS可證得△BED≌△CDF；

（3）根據AD=DE，△ABC為邊長為2的等邊三角形，可得出AD的最小值，在D運動過程中，BD是一直變大的過程，而AD是由大變小在變大的過程，經過分析即可選出答案。

（1）∵AD=DE，

∴∠DAE=∠AED=30°，

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=60°

∴∠ADB=180°-∠DAE-∠ABC=90°

（2）證明：∵AD=DE=DF，

∴∠BED=∠BAD，∠DAC=∠DFC

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BED+∠BDE=∠ABC=60°（三角形外角定理）

即∠BAD+∠BDE=60°

又∵∠BAD+∠DAC=60°

∴∠BDE=∠DAC

∴∠BDE=∠DFC

∵∠DBE=180°-∠ABC，∠FCD=180°-∠ACB

∴∠DBE=∠FCD

在△BED中△CDF中

△BED≌△CDF（AAS）

（3）∵△BED周長是BE+BD+DE，DE=AD

∴△BED周長是BE+BD+AD

∵點D運動過程中，BE不變，BD在逐漸變大，

∴可以不考慮BE與BD

∴影響△BED周長的是AD，

又∵AD在變化過程中會經歷一個由大變小在變大的過程，在AD⊥BC時有最小值

∴△BED周長變化規律為先變小在變大

∴選D