Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），且與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）填空：b= ， c= ， 直線AC的解析式為
（2）直線x=t與x軸相交于點(diǎn)H．
①當(dāng)t=﹣3時(shí)得到直線AN（如圖1），點(diǎn)D為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，若∠COD=∠MAN，求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時(shí)（如圖2），直線x=t與線段AC，AM和拋物線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，P．試證明線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值為 ，求此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）2；﹣3；y=﹣x﹣3
（2）

解：①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m2+2m﹣3），

∵∠COD=∠MAN，

∴tan∠COD=tan∠MAN，

∴ = ，

解得：m=± ，

∵﹣3＜m＜0，

∴m=﹣ ，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣2 ）；

②設(shè)直線AM的解析式為y=mx+n，

將點(diǎn)A（﹣3，0）、M（﹣1，﹣4）代入，

得： ，解得： ，

∴直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，

∵當(dāng)x=t時(shí)，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（t2+2t﹣3），

∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=﹣t2﹣4t﹣3，

∵HE+EF﹣FP=2（t+3）+t2+4t+3=（t+3）2＞0，

∴HE+EF＞FP，

又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，

∴當(dāng)﹣3＜t＜﹣1時(shí)，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形；

由題意得： = ，即 = ，

整理得：5t2+26t+33=0，

解得：t1=﹣3，t2=﹣ ，

∵﹣3＜t＜﹣1，

∴t=﹣ ．

【解析】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），
∴ ，解得： ，
∴拋物線解析式為：y=x2+2x﹣3，
令y=0，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x=0，得y=﹣3，
∴C（0，﹣3），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得： ，解得： ，
∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3；
所以答案是：2，﹣3，y=﹣x﹣3．