Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°．

（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為4，

①用尺規作出點A到CD所在直線的距離；

②求出該距離．

Answer 1

【答案】（1）CD與⊙O相切．理由見解析；（2）①如圖，AH為所作；見解析；②點A到CD所在直線的距離為6．

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用等腰三角形的性質得到∠CAD＝∠CDA＝30°，∠OCA＝∠OAC＝30°，則利用三角形內角和計算出∠OCD＝90°，然后根據切線的判定定理可判斷CD為⊙O的切線；

（2）①如圖，利用基本作圖，過點A作AH⊥CD于H即可；②在Rt△OCD中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OD＝8，則AD＝12，從而可求出AH的長．

（1）CD與⊙O相切．

理由如下：連接OC，如圖，

∵CA＝CD，

∴∠CAD＝∠CDA＝30°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠OCD＝180°﹣3×30°＝90°，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線；

（2）①如圖，AH為所作；

②在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，

∴OD＝2OC＝8，

∴AD＝8+4＝12，

在Rt△ADH中，AH＝AD＝6，

即點A到CD所在直線的距離為6．