Question

【題目】如圖①，直線L：y=mx+n(m<0，n>0)與x，y軸分別相交于A，B兩點，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△COD，過點A，B，D的拋物線P叫做L的關聯拋物線，而L叫做P的關聯直線．

(1)若L：y=-x+2，則P表示的函數解析式為______；若P：，則表示的函數解析式為_______．

(2)如圖②，若L：y=-3x+3，P的對稱軸與CD相交于點E，點F在L上，點Q在P的對稱軸上．當以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，求點Q的坐標；

(3)如圖③，若L：y=mx+1，G為AB中點，H為CD中點，連接GH，M為GH中點，連接OM．若OM=，求出L，P表示的函數解析式．

Answer 1

【答案】(1)；y=﹣2x+4；(2)Q坐標為Q1(﹣1，)、Q2(﹣1，)；(3)y=﹣3x+1；y=﹣3x2﹣2x+1．

【解析】

（1）若l：y=-x+2，求出點A、B、D的坐標，利用待定系數法求出P表示的函數解析式；若P：，求出點D、A、B的坐標，再利用待定系數法求出l表示的函數解析式；
（2）根據對稱軸的定義解答即可；
（3）以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時，則有FQ∥CE，且FQ=CE．以此為基礎，列方程求出點Q的坐標．注意：點Q的坐標有兩個，如答圖所示，不要漏解；
（4）如答圖所示，作輔助線，構造等腰直角三角形OGH，求出OG的長度，進而由AB=2OG求出AB的長度，再利用勾股定理求出y=mx+1中m的值，最后分別求出l，P表示的函數解析式．

解：(1)；y=﹣2x+4．

(2)若：y=﹣3x+3，則A(1，0)、B(0，3)，

∴C(0，1)、D(﹣3，0)．求得直線CD的解析式為：y=x+1．可求得的對稱軸為x=﹣1．

∵以點C，E，Q，F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形，

∴FQ∥CE，且FQ=CE．

設直線FQ的解析式為：y=x+b．∵點E、點C的橫坐標相差1，

∴點F、點Q的橫坐標也是相差1．則|xF﹣(﹣1)|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=﹣2．

∵點F在直線：y=﹣2x+4上，

∴點F坐標為(0，3)或(﹣2，9)．

若F(0，3)，則直線FQ為：y=x+3，

當x=﹣1時，y=，∴Q1(﹣1，).

若F(﹣2，9)，則直線FQ為：，

當x=﹣1時，y= ，∴Q2(﹣1，)．

∴滿足條件的點Q有2個，如答圖1所示，點Q坐標為Q1(﹣1，)、Q2(﹣1，)．

(3)如圖2所示，連接OG、OH．∵點G、H為斜邊中點，

∴OG=AB，OH=CD．

由旋轉性質可知，AB=CD，OG⊥OH，

∴△OGH為等腰直角三角形．

∵點G為GH中點，

∴△OMG為等腰直角三角形.

∴OG=OM==.

∴AB=2OG=．

∵：y=mx+1，

∴A(，0)，B(0，1)．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：()2+12=()2，

解得：m=﹣3或m=3.

∵點B在y軸正半軸，

∴m=3舍去，

∴m=﹣3．

∴表示的函數解析式為：y=﹣3x+1；

∴B(0，1)，D(﹣1，0)．又A(，0)，

利用待定系數法求得：y=﹣3x2﹣2x+1．