Question

【題目】如圖（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，它們運動的時間為t（s）．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝2時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由；

（2）在（1）的條件下，判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系，并證明；

（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ACP與△BPQ全等，理由詳見解析；（2）PC⊥PQ，證明詳見解析；（3）當t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s時，△ACP與△BPQ全等．

【解析】

（1）利用SAS定理證明△ACP≌△BPQ；

（2）根據全等三角形的性質判斷線段PC和線段PQ的位置關系；

（3）分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP兩種情況，根據全等三角形的性質列式計算．

（1）△ACP與△BPQ全等，

理由如下：當t＝2時，AP＝BQ＝4cm，

則BP＝12﹣4＝8cm，

∴BP＝AC＝8cm，

又∵∠A＝∠B＝90°，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

（2）PC⊥PQ，

證明：∵△ACP≌△BPQ，

∴∠ACP＝∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．

∴∠CPQ＝90°，

即線段PC與線段PQ垂直．

（3）①若△ACP≌△BPQ，

則AC＝BP，AP＝BQ，

∴12﹣2t＝8，

解得，t＝2（s），

則x＝2（cm/s）．

②若△ACP≌△BQP，

則AC＝BQ，AP＝BP，

則2t＝×12，

解得，t＝3（s），則x＝8÷3＝（cm/s），

故當t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s時，△ACP與△BPQ全等．