Question

【題目】已知：如圖，點是的邊上的一點，過點作，，，為垂足，再過點作，交于點，且．

（1）求證：；

（2）求證：垂直平分．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接BD，先根據(jù)DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF可知∠ABD=∠DBC，再根據(jù)DG∥AB即可得出∠ABD=∠BDG，進而可得出∠BDG=∠DBC，由等角對等邊可知DG=BG；

（2）先根據(jù)（1）中∠ABD=∠DBC可知∠EDB=∠FDB，由全等三角形的判定定理可得出△BDE≌△BDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出BE=BF，DE=DF，故可得出BD垂直平分EF．

證明：（1）連接BD．

∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，

∴∠ABD=∠DBC，

又∵DG∥AB，

∴∠ABD=∠BDG，

∴∠BDG=∠DBC，

∴DG=BG；

（2）由（1）∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB，

在△BDE與△BDF中，

∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，

∴△BDE≌△BDF，

∴BE=BF，DE=DF，

∴BD垂直平分EF．