Question

【題目】正方形中，點是直線上的一個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．

（1）如圖1，若點在線段上，

①直接寫出的度數為 °；

②求證：；

（2）如圖2，若點在的延長線上，，，

①依題意補全圖2；

②直接寫出線段的長度為 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②證明見解析；（2）①補全圖形見解析；②．

【解析】

（1）①證明△BAP≌△BCE，得∠BAC=∠BCE=45°，從而可求出結論；

②連接，可得△PBE，△PCE均為直角三角形，利用勾股定理即可求解；

（2）①根據提示補全圖形即可；

②連接PE，可得△PBE，△PCE均為直角三角形，利用勾股定理求得PE=，PC=5，從而可求AC=4.

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵∠PBE=90°，

∴∠ABP=∠CBE，

又BP=BE，

∴△BAP≌△BCE，

∴∠BAP=∠BCE

∵AC是正方形的對角線，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BCE=∠BCA=45°，

∴∠BCE+∠BCA=90°，即的度數為90°；

②證明：連接，如圖．

∵四邊形是正方形，

∴，，．

∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，

∴，．

∴，

．

∴≌（）．

∴，．

∴．

在中，由勾股定理，得．

∵，，

∴．

（2）①補全的圖形如圖所示．

②連接PE．易證△PBA≌△EBC，

∴CE=PA=1，∠BAP=∠BCE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BAP=∠BCE=135°，

∴∠ECA=90°,即△PCE是直角三角形，

在Rt△PBE中，PE=PB=，

在Rt△PCE中，PC=

∴AC=PC-PA=5-1=4.