Question

已知等邊三角形紙片ABC的邊長為8，D為AB邊上的點，過點D作DG∥BC交AC于點G．DE⊥BC于點E，過點G作GF⊥BC于點F，把三角形紙片ABC分別沿DG，DE，GF按圖1所示方式折疊，點A，B，C分別落在點A′，B′，C′處．若點A′，B′，C′在矩形DEFG內或其邊上，且互不重合，此時我們稱△A′B′C′（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．
（1）若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網格中（圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形），點A，B，C，D恰好落在網格圖中的格點上．如圖2所示，請直接寫出此時重疊三角形A′B′C′的面積；
（2）實驗探究：設AD的長為m，若重疊三角形A′B′C′存在．試用含m的代數式表示重疊三角形A′B′C′的面積，并寫出m的取值范圍．（直接寫出結果）

Answer 1

分析：（1）每個小三角形的面積是

3

4

，由圖知，陰影部分有四個小三角形，故重疊三角形A'B'C'的面積為

3

；
（2）當AD的長為m，BD為8-m，根據三角形的面積公式可得．

解答：解：（1）∵每個小三角形的面積是

3

4

∴重疊三角形A'B'C'的面積為

3

；

（2）重疊的等邊三角形A'B'C'的邊長|8-m-m|=|8-2m|，
根據S=

1

2

absinC得：
面積是：

1

2

•

3

2

•|8-2m|²=

3

（4-m）²，
用含m的代數式表示重疊三角形A'B'C'的面積為

3

（4-m）²，
m的取值范圍為

8

3

≤m＜4．

點評：本題是一個探究性的折疊問題，考查了等邊三角形的性質、圖形的折疊、平行四邊形的性質等，同時考核了學生對新知識的探究能力．本題題目較長，理解題意是解決本題的關鍵．