Question

【題目】在中，，，點為的中點，，分別在，上，且現有以下四個結論：

①；②；③四邊形的面積為4；

④的面積最大為3.其中正確的結論有（ ）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據等腰三角形的性質、全等三角形的性質、三角形的面積公式可以分別判斷出題目中的各個小題是否成立，從而可以解答本題．

解：連接DC，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D為AB的中點，

∴CD=AB=AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°，

在△CDN和△BDM中，

，

∴△CDN≌△BDM（SAS），

∴∠NDC=∠MDB，DN=DM，故①正確，

∵∠CDM+∠MDB=∠CDB=90，

∴∠NDC+∠CDM=90°，

即∠NDM=90°，故②正確，

∵四邊形CMDN的面積等于△NDC與△CDM的面積之和，

∴四邊形CMDN的面積等于△MDB與△CDM的面積之和，

∴四邊形CMDN的面積是：CACB×=×4×4×＝4，故③正確，

設CM=x，則BM=4x，CN=4x，

∴△CMN的面積是：，

∵0＜x＜4，

∴當x=2時，△CMN的面積取得最大值，此時△CMN的面積是2，故④錯誤；

∴正確的結論有：①②③；

故選：B.