Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C、點D為⊙O上異于A、B的兩點，連接CD，過點C作CE⊥DB，交DB的延長線于點E，連接AC、AD、BC，若∠ABD=2∠BDC．

（1）求證：CE是⊙0的切線

（2）求證：△ABC△CBE

（3）若⊙O的半徑為5，tan∠BDC=，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）連接OC，可證明OC∥DE，由于CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根據切線的判定即可求出答案；

(2)由AB是⊙O的直徑，可得，可得，再證∠ECB=∠CAB，即可得出結論；

（3）連接BC，由于∠BDC=∠BAC，所以，設BC=x，AC=2x，所以，列出方程即可求出x的值,利用△ABC△CBE可求出BE的長度．

（1）證明：連接

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∵，

∴

∴，

∴

∵OC為的半徑

∴是的切線

（2）連接

∵AB是⊙O的直徑

∴

∴

∵∠ECO=∠BCA=90°

∴∠ECB+∠BCO=∠OCA+∠BCO

∴∠ECB=∠OCA

∵

∴∠ECB=∠CAB

∴△ABC△CBE

（3）∵，

∴

∵是的直徑

∴

∴

設，

∴

∵的半徑為5

∴

∴

∴

∵△ABC△CBE

∴

∴

∴BE=2