Question

【題目】如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一點，且AO＝2．

（1）求點O到直線AC的距離OH的長；

（2）若P是邊AC上一個動點，作PQ⊥OP交線段BC于Q（不與B、C重合），設AP＝x，CQ＝y，試求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；

（3）在（2）的條件下，當AP為多少時能使△OPQ與△CPQ相似．

Answer 1

【答案】（1）OH＝；（2）y＝﹣x2+x﹣（＜x＜4）；（3）當△OPQ與△CPQ相似時，AP為．

【解析】

（1）通過證明△AOH∽△ABC，即可判斷出，求出OH的長度；

（2）通過證明△AOD∽△ABC，可得：，從而求出AD、PD的長度各是多少，然后根據相似三角形判定的方法，判斷出△POD∽QPC，即可推得，據此求出y關于x的函數解析式．并寫出函數定義域即可．

（3）根據題意，分兩種情況：當OQ∥AC時；當PQ平分∠CQO時；然后根據相似三角形的性質，分類討論，求出AP長是多少即可．

解：（1）如圖1，過點O作OH⊥AC，

∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝＝＝5，

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AHO＝90°，

∴△AOH∽△ABC，

∴，

即，

∴OH＝；

（2）如圖2，過點O作OD⊥AC，

由（1）可得OD＝，

∵∠BCA＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，

∴△AOD∽△ABC，

∴，

∴，

∴AD＝，

∴PD＝x﹣，

∵PQ⊥OP，

∴∠OPD+∠CPQ＝90°，

又∵∠PQC+∠CPQ＝90°，

∴∠OPD＝∠PQC，且∠ACB＝∠PDO＝90°，

∴△POD∽△QPC，

∴，

∴

∴y＝﹣x2+x﹣

由題意可知：AD＜AP＜AC

∴＜x＜4

（3）如圖3，當OQ∥AC時，△OPQ∽△QCP，

∵OQ∥AC，

∴，

∴＝，

∴CQ＝，

∴＝﹣x2+x﹣，

∴x＝，

∴AP＝；

如圖4，作PE⊥OQ于點E，

當PQ平分∠CQO時，△OPQ∽△PCQ，

∵∠CQP＝∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，

∴PC＝PE，

∵∠POQ＝∠CPQ，∠DOP＝∠CPQ，

∴∠POQ＝∠DOP，

又∵PD⊥OD，PE⊥OE，

∴PD＝PE，

∴PC＝PD，

即點P為CD的中點，

由AP﹣AD＝AC﹣AP，

∴2AP＝AC+AD＝4+，

∴AP＝，

綜上所述：當△OPQ與△CPQ相似時，AP為．