Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2＋bx－5（a，b是常數，a0）的圖象與x軸交于點A（－1，0）和點B（5，0）．動直線y＝t（t為常數）與拋物線交于不同的兩點P、Q（點P在Q的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動直線y＝t與y軸交于點C，若CQ=3CP，求t的值；

（3）將拋物線y＝ax2＋bx－5在x軸下方的部分沿x軸翻折，若動直線y＝t與翻折后的圖像交于點M、N，點M、N能否是線段PQ的三等分點？若能，求PQ的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）-8或7；（3）能，

【解析】

（1）將點A，點B的坐標代入拋物線，解方程組即可求出拋物線解析式；

（2）分y＝t在x軸的上方或在x軸下方兩種進行討論，根據拋物線的對稱性和CQ=3CP即可求出點P，點Q的橫坐標，將點Q的坐標代入拋物線即可求得t的值；

（3）根據對稱性可得翻折后的拋物線的解析式，再根據點P，點Q是直線y=t與拋物線，點M，點N是拋物線的交點，聯立方程，求得點P，Q，M，N的坐標，再利用點M、N是線段PQ的三等分點，得出PM=MN=NQ，據此求出t的值，即可求出線段PQ的長．

解：（1）∵A（－1，0），B（5，0）在拋物線上，

∴，解得：，

∴二次函數關系式為y＝x2－4 x－5；

（2）當y＝t在x軸的上方，如圖，

拋物線的對稱軸，與直線y＝t交于點H，

∴CH=2，

根據拋物線的對稱性可得，PH=QH，

∵CQ=3CP，

∴PH=CH=2，QH=2CH=4，

∴CQ=6，

∴點Q的坐標為，

∵點Q在拋物線y＝x2－4 x－5上，代入得，

，

當y＝t在x軸的上方，如圖，

此時，根據拋物線的對稱性可得，

CH=HQ，

∵CQ=3CP，

∴CP=PH=1，HQ=2CP=2，

∴點P的坐標為，

∵點P在拋物線y＝x2－4 x－5上，代入得，

，

綜上所述，t＝或7 ；

（3）點M、N可以是線段PQ的三等分點，此時，

拋物線的頂點坐標為，

將拋物線y＝ax2＋bx－5在x軸下方的部分沿x軸翻折，

∴點E與點D關于x軸對稱，點E的坐標為，

∴翻折后的拋物線解析式為：，

∵直線y=t與拋物線交于P，Q兩點，

∴ ，解得：，

∴點P的坐標為，點Q的坐標為，

∵直線y=t與拋物線交于M，N兩點，

∴ ，解得：,

∴點M的坐標為，點N的坐標為，

要使點M、N是線段PQ的三等分點，則PM=MN=NQ，

，

解得：，

∴,