Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）經過點A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出△QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請求出其中某一個點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），

把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，

a=1，

∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6

（2）

解：存在，

如圖1，分別過P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，

設P（m，m2﹣5m﹣6），四邊形PACB的面積為S，

則PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC

= （﹣m2+5m+6）（m+1）+ （6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+ ×1×6

=﹣3m2+12m+36

=﹣3（m﹣2）2+48，

當m=2時，S有最大值為48，這時m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，

∴P（2，﹣12）

（3）

解：這樣的Q點一共有5個，連接Q3A、Q3B，

y=x2﹣5x﹣6=（x﹣ ）2﹣ ；

因為Q3在對稱軸上，所以設Q3（ ，y），

∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，

由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+6）2，

y=﹣ ，

∴Q3（ ，﹣ ）

【解析】（1）拋物線經過點A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣6）即可求得函數的解析式；（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設P（m，m2﹣5m﹣6），四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發現是一個二次函數，利用頂點坐標求極值，從而求出點P的坐標．（3）分三種情況畫圖：①以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對稱軸于Q1和Q4 ， 有兩個符合條件的Q1和Q4；②以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個符合條件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分線交對稱軸于一點Q3 ， 有一個符合條件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐標．本題考查了利用待定系數法求解析式，還考查了多邊形的面積，要注意將多邊形分解成幾個圖形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數．同時還結合了拋物線圖形考查了等腰三角形的一些性質，注意由一個動點與兩個定點組成的等腰三角形三種情況的討論．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質和等腰三角形的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）即可以解答此題．