Question

【題目】如圖1，已知是等腰直角三角形，，點D是BC的中點作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．

試猜想線段BG和AE的數量關系是______；

將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉，

判斷中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論；

若，當AE取最大值時，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）BG=AE．（2）①成立BG=AE．證明見解析.AF=．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；
（2）①如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；
②由①可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結論．

(1)BG=AE.

理由：如圖1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE=DG.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，

∴△ADE≌△BDG(SAS)，

∴BG=AE.

故答案為：BG=AE；

(2)①成立BG=AE.

理由：如圖2，連接AD，

∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點，

∴AD=BD,AD⊥BC,

∴∠ADG+∠GDB=90°.

∵四邊形EFGD為正方形，

∴DE=DG,且∠GDE=90°，

∴∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠BDG=∠ADE.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED，

∴△BDG≌△ADE(SAS)，

∴BG=AE；

②∵BG=AE，

∴當BG取得最大值時，AE取得最大值。

如圖3,當旋轉角為270°時，BG=AE.

∵BC=DE=4，

∴BG=2+4=6.

∴AE=6.

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF= =，

∴AF=2 .