Question

【題目】△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在AB上，E在BC上，且AD＝BE，BD＝AC．

（1）如圖1，求證：DC＝DE；

（2）如圖2，過E作EF⊥AB于F，若BF＝2，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

(1)根據SAS證明△ACD≌△BDE，再根據全等三角形的性質即可得DC=DE, 即為所求;
(2)過D作DG⊥CE于G, 過E作EF⊥AB于F，根據等腰直角三角形的性質求出EF的長，根據題意求出∠EDG=∠EDF，根據角平分線的性質求出EG=EF，根據等腰三角形的性質得到答案.

（1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠A＝∠B＝45°

在△ACD和△BDE中

∴△ACD≌△BDE（SAS）

∴DC＝DE

（2）解：∵△ACD≌△BDE

∴∠ACD＝∠BDE

∵AC=BC，∠B=45°

∴∠BCD＝∠BDC=67.5°

∴∠ACD＝∠BDE=22.5°

∠CDE＝45°

過D作DG⊥CE于G

∵DC＝DE

∴∠CDG＝∠EDG=22.5°，CG＝EG

∴∠CDG＝∠EDG=∠EDF ＝22.5°

∵DG⊥BC，EF⊥AB，∠B＝45°

∴FE=EG=GC=FB=2

∴CE=2FB=4