Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為頂點．

（1）求點B及點D的坐標．

（2）連結BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．

①若線段BD上一點P，使∠DCP=∠BDE，求點P的坐標．

②若拋物線上一點M，作MN⊥CD，交直線CD于點N，使∠CMN=∠BDE，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B的坐標為（3，0） D的坐標為（1，－4）

（2）①點P的坐標為（，）②點M坐標為（）或（5，12）

【解析】

解：（1）∵拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），

∴當y=0時，，解得x=3或x=﹣1．∴點B的坐標為（3，0）．

∵，∴頂點D的坐標為（1，－4）．

（2）①如圖，

∵拋物線與y軸交于點C，

∴C點坐標為（0，－3）．

∵對稱軸為直線x=1，

∴點E的坐標為（1，0）．

連接BC，過點C作CH⊥DE于H，則H點坐標為（1，﹣3），

∴CH=DH=1．

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°．

∴CD=，CB=3，△BCD為直角三角形．

分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，

∴∠CDB=∠QCO．∴△BCD∽△QOC．∴．

∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）.

∴直線CQ的解析式為．

又直線BD的解析式為，

由方程組解得：．

∴點P的坐標為（，）．

②（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時，

若點N在射線CD上，如圖，

延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．，

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE．∴．∴MN=2CN．

設CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=∠DCF=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形．

∴NF=CN=a，CF=a．∴MF=MN+NF=3a．∴MG=FG=a．

∴CG=FG﹣FC=a．

∴M（a，）．

代入拋物線，解得a=．，

∴M（）．

若點N在射線DC上，如圖，

MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G，

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，∴．

∴MN=2CN．．

設CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形．，

∴NF=CN=a，CF=a．

∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a．∴CG=FG+FC=a．∴M（a，）．

代入拋物線，解得a=．

∴M（5，12）．

（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時，

∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°．

而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，∴點M不存在．

綜上可知，點M坐標為（）或（5，12）．

（1）解方程，求出x=3或﹣1，根據拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），確定點B的坐標為（3，0）；將拋物線寫成頂點式，即可確定頂點D的坐標．

（2）①根據拋物線，得到點C、點E的坐標．連接BC，過點C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，證明△BCD為直角三角形．分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則，得出Q的坐標（﹣9，0），運用待定系數法求出直線CQ的解析式為，直線BD的解析式為，解方程組，即可求出點P的坐標．

②分點M在對稱軸右側和點M在對稱軸左側兩種情況進行討論：（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時，分點N在射線CD上和點N在射線DC上兩種情況討論；（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，所以點M不存在．