Question

【題目】在一個鈍角三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”．如，三個內角分別為120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如圖，∠MON=60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交射線OB于點C．

（1）∠ABO的度數為_____°，△AOB_____（填“是”或“不是”） “智慧三角形”；

（2）若∠OAC=20°，求證：△AOC為“智慧三角形”；

（3）當△ABC為“智慧三角形”時，求∠OAC的度數．

Answer 1

【答案】（1）30；是；（2）證明見解析；（3）∠OAC的度數為80°或52.5°．

【解析】

（1）根據垂直的定義、三角形內角和定理求出∠ABO的度數，根據“智慧三角形”的概念判斷；

（2）根據“智慧三角形”的概念證明即可；

（3）分∠ABC=3∠BAC、∠BCA=3∠BAC兩種情況，根據“智慧三角形”的定義計算．

（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠MON=30°．

∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB為“智慧三角形”．

故答案為：30；是；

（2）∠AOC=60°，∠OAC=20°，∴∠AOC=3∠OAC，∴△AOC為“智慧三角形”；

（3）∵∠ABO=30°，∴∠BAC+∠BCA=150°．

∵△ABC為“智慧三角形”，當∠ABC=3∠BAC時，∠BAC=10°，∴∠OAC=90°－10°=80°；

當∠BCA=3∠BAC時，∠BAC=37.5°，∴∠OAC=90°－37.5°=52.5°．

綜上：當△ABC為“智慧三角形”時，求∠OAC的度數為80°或52.5°．