Question

【題目】如圖，已知二次函數L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函數L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）圖象的頂點分別為M，N，與x軸分別相交于A、B兩點（點A在點B的左邊）和C、D兩點（點C在點D的左邊）．

（1）函數y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的頂點坐標為______；當二次函數L1，L2的y值同時隨著x的增大而增大時，則x的取值范圍是______；

（2）當AD＝MN時，判斷四邊形AMDN的形狀（直接寫出，不必證明）；

（3）拋物線L1，L2均會分別經過某些定點，

①求所有定點的坐標；

②若拋物線L1位置固定不變，通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點組成的圖形為菱形，則拋物線L2應平移的距離是多少？

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3；（2）四邊形AMDN是矩形；（3）①L1經過（﹣3，1）、（1，1）兩點，L2經過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點；②L2應平移的距離是或．

【解析】

（1）將已知拋物線解析式轉化為頂點式，直接得到點M的坐標；結合函數圖象填空；

（2）利用拋物線解析式與一元二次方程的關系求得點A、B、C、D的橫坐標，可得AD的中點為（1，0），MN的中點為（1，0），則AD與MN互相平分，可判斷四邊形AMDN是矩形；

（3）根據菱形的性質可得EH1＝EF＝4即可，設平移的距離為x，根據平移后圖形為菱形，由勾股定理可得方程即可求解．

（1）x＝﹣＝﹣1，頂點坐標M為（﹣1，﹣4m+1），

由圖象得：當﹣1＜x＜3時，二次函數L1，L2的y值同時隨著x的增大而增大．

故答案為：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3

（2）結論：四邊形AMDN是矩形．

（3）①∵二次函數L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，

故當x＝﹣3或x＝1時y＝1，即二次函數L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1經過（﹣3，1）、（1，1）兩點，

∵二次函數L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，

故當x＝1或x＝5時y＝﹣1，即二次函數L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1經過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點，

②∵二次函數L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1經過（﹣3，1）、（1，1）兩點，二次函數L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1經過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點，

如圖：四個定點分別為E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），則組成四邊形EFGH為平行四邊形，

設平移的距離為x，根據平移后圖形為菱形，

由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．

解得：x＝，

拋物線L1位置固定不變，通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點組成的圖形為菱形，則拋物線L2應平移的距離是或．